Зазвичай питомі (українські) слова мають ширше значення, аніж запозичені.
Ваші приклади також не є абсолютними синонімами.
Індиферентний вживається в першу чергу як наукове означення речовин чи явищ, тоді як байдужим може бути в принципі будь-що.
Заангажована стаття - упереджена на користь когось чи чогось, зазвичай політичної сили. Просто упереджена стаття - автор, наприклад, використовує занадто багато стереотипів.
Варто вживати слова, які максимально точно передають необхідне значення і підходять за стилем. Чи це слово питомо українське, чи запозичене - це вже як вийде.
Однозначно точно не треба використовувати слова іншомовного походження, якщо є наш відповідник, який ідеально підходить. Наприклад, у більшості випадків слово "розробник" чудово замінює слово "девелопер", проте останнє доводиться чути і бачити дуже часто.
Також часто люди можуть використовувати якесь іншомовне слово, бо воно відчувається більш престижним, більш високого стилю. Це може з часом призводити до повного витіснення питомого українського, і запозичене слово набуває ширшого значення. Таких ситуацій теж варто уникати.
Схожі думки викладені, наприклад, тут чи тут.