Проф. Пономарів радить вживати слово підсклянник:
Під негативним упливом російської мови в технічних значеннях частіше вживали слова стакан. Науковий стиль, як відомо, характеризується чітким нормуванням мовних засобів. Тому в технічній термінології слід віддавати перевагу слову склянка. З огляду на це й підставку з ручкою для цієї посудини варто називати не підстаканник (як чуємо й читаємо в засобах масової інформації), а підсклянник (це слово зафіксоване багатьма словниками української мови).
На сайті onlinecorrector також знаходимо, що стилістично кращий варіант слово підсклянник:
Замініть іменник підстаканник на стилістично кращий варіант: підсклянник.
На основі цих джерел можна зробити висновок, що на письмі, особливо в науковому тилі краще вживати підсклянник.