Цитую статтю із Вікіпедії:
За однією із версій саме від павутини, що літає, («лето», «літо») та
міфологічної Баби походить і назва «Бабине літо».
А Баба - це міфічна істота в образі жінки з довгим волоссям, яка убиває або до смерті залоскотує людей, одне з найстародавніших і найбільших божеств у прото-українців, які жили у кам'яну добу та давніх українців палеоліту, неоліту, енеоліту, бронзової доби (Вікіпедія).
Також бачимо й інший варіант:
«Бабське літо» або «бабине» є однією з давніх українських назв місяця
вересня. За спостереженнями фольклориста Якова Головацького: «Зовут
також сей місяць <вересень> „бабське літо“ для того, що баби свої
роботи порают, коноплі отіпают, полотна добілюют, дещо в городах
порают і пр.»
А крім того, на тій же Вікіпедії є пояснення аналогічного поняття із німеціької мови "Altweibersommer", тобто "старо-бабине літо":
Дослідники, що виводять походження поняття з давньоверхньонімецької,
вважають його похідним від зовнішнього природного феномену летіння у
вересні павутиння, що нагадує сиве жіноче волосся.
Інші вважають секундарне значення знаходиться у значенні «другої
молодості» жінки, яка приходить невчасно і триває дуже короткий час.
На це пояснення вказують фахівці, які вбачають аналогію у подібних
назвах інших діалектів німецької, як наприклад «вдове літо» (нім.
Witwesömmerli) в швейцарській німецькій або «дідусеве літо» (нім.
Ähnlsummer, Großvatersommer) в баварському діалекті. В
північно-німецьких діалектах, навпаки, «бабине літо» часом зветься
«дівчачим літом» (нім. Mettjensommer, Mettkensommer).
Також у цьому джерелі бачимо таке походження цього вислову:
Згідно з переказами словосполучення «бабине літо» означало пору, коли
жінки закінчували роботи в полі і могли трохи відпочити. У цей час
жінки відходили від польових робіт і займалися домашніми справами.
І друга версія:
Також існує інша версія походження «бабиного літа». Згідно древнім
забобонам жінки можуть містичним чином повертати назад пори року і
всіляко впливати на погоду. У народі кажуть, що «тільки жінка може так
зігріти, коли вже майже все втрачено».
Отож, як бачите, версій є дуже багато і важко сказати яка з них 100% вірна, однак я вважаю, що варто дотримуватися найпершого припущення, яке я навів у відповіді.