У СУМі знаходжу:
ДЗВОНИТИ, дзвоню, дзвониш, недок.
- Викликати до телефону дзвінком телефонного апарата; говорити по телефону. — Дзвонили ви до Русевича? — спитав Петров .. — Двічі дзвонив (Юрій Шовкопляс, Інженери, 1956, 58); [Надія:] А мій Гордій теж приїхав? [Ромодан:] Скоро буде, дзвонив мені... (Олександр Корнійчук, II, 1955, 283).
ТЕЛЕФОНУВАТИ, ую, уєш, недок. і док.
Викликати до телефону дзвінком телефонного апарата. Дивуючися, хто ж це може тут їй уночі телефонувати, Сахно взяла трубку (Юрій Смолич, I, 1958, 84); — Мушу бути в канцелярії, ану ж хтось телефонуватиме (Гашек, Пригоди.. Швейка, перекл. Масляка, 1958, 351).
Повідомляти про що-небудь по телефону. Телефоную в Москву. — Синку, море підходить до груші (Олександр Довженко, III, 1960, 509).
У Словнику синонімів також знаходимо:
ТЕЛЕФОНУВА́ТИ (викликати для розмови телефоном), ДЗВОНИ́ТИ. - Док.: зателефонува́ти, протелефонува́ти, подзвони́ти.
Однак, на сайті Оnlinecorrector знаходжу:
Замініть дієслово дзвонити, подзвонити, передзвонити, якщо мовиться про телефонний дзвінок, на стилістично кращий варіант: телефонувати, потелефонувати, перетелефонувати.
Отже, чи буде нормативно вживати подзвони мені, чи є це правило десь офіційно поміщене.