У Словнику української мови 1970-1980 рр. подають такі статті:
РОДИ́ННИЙ, а, е. 1. прикм. до родина
- Взагалі родинне життя надзвичайно якось скоро увійшло в свою колію (Гнат Хоткевич, II, 1966, 11)
/ Який належить родині, сім'ї.
Воля витягла з шафи оберемок старої родинної одежі й пожбурила на ліжко (Юрій Яновський, II, 1954, 89)
/ Який переходить від покоління до покоління.
— Написала в листі, що це ковзани не прості, а майже родинна реліквія (Андрій Головко, II, 1957, 589).
/ Який здійснюється, відбувається за участю членів родини, сім'ї.
На родинній нараді було вирішено, що я мушу вчитися, дійти до інженера, а то й ще вище (Юрій Яновський, II, 1954, 17)
/ Який складається з членів родини, сім'ї.
Родинне коло діда оточило, Сини та дочки, й молоді онуки (Леся Українка, I, 1951, 52).
- Стос. до родини (у 1 знач.), пов'язаний з життям родини, в родині.
Нездорові родинні обставини, розлад батьками, міщанський побут, надмірне потурання дитячим примхам негативно впливають на виховання дітей (Історія української літератури, II, 1956, 222).
- Притаманний, власт. рідним (про почуття, стосунки, ставлення).
Племінник не дуже любив свого дядю, але мусив підтримувати тісні родинні взаємини (Оксана Іваненко, Тарас. шляхи. 1954, 190)
- діал. В якому народився і виріс хто-небудь; рідний (у 4 знач.).
Панщина вигнала мене з родинного гнізда і з порядного господаря зробила жебраком (Іван Франко, VI, 1951, 196)
Щодо прикметника "фамільний", там же знаходимо таку інформацію:
ФАМІ́ЛЬНИЙ, а, е. 1. заст, діал.. Прикм. до фамілія 2; родовий.
Це була натура добра зроду, але зовсім попсована фамільними традиціями панства (Нечуй-Левицький, II, 1956, 39).
Аби точніше зрозуміти, зіертаємось до пропонованої нам статті про значення слова "фамілія":
розм. Те саме, що прізвище
— Він якогось пана підписаря підписар, чи що! Фамілія його — Серединський (Нечуй-Левицький, I, 1956, 122).
заст. Рід (у 2 знач.).
Ми всім селом у дивізію пішли, а на селі у нас якраз дві фамілії: Довгоруки та Семиволоси (Юрій Смолич, Театр.., 1940, 122).
- діал. Родина, члени родини. — Бувай здоров, Орлюче! Кланяйся від нас своєму дому і всій фамілії (Олександр Довженко, I, 1958, 323).
Отже, ці слова є синонімам, відмінність лише у тому, що "родинний" - той, що стосується родини; такий прикметник можна використовувати у будь-якому стилі, зокрема і науковому, й офіційно-діловому. Щодо "фамільний", то це той, що стосується безпосередньо фамілії. Таким чином, якщо приглянутися до самих міток, що подає СУМ-20 у кожній наведеній мною статті, то побачимо, що лексема "фамільний" є дещо застарілою і використовується лише у розмовному стилі та діалектах.