Часткова відповідь.
Стаття «Дієслово» (розділ «Історія», підрозділ «Майбутній час») у Вікіпедії каже, що справді від дієслова мати (точніше, від його попередника имати):
Другий спосіб полягав у використанні форм дієслова имати з інфінітивом (имѫ писати), причому допоміжне дієслово могло стояти і після смислового (писати имѫ). Від нього походить сучасна складна форма майбутнього часу, особові закінчення якої пов'язані з архаїчними формами дієслова мати (я писати иму > я писатиму, ти писати имеш > ти писатимеш, він писати име > він писатиме тощо), але роздільне вживання допоміжного і смислового дієслів трапляється досі в деяких західноукраїнських діалектах (меш ходити, ме ся вмивати).
Вони посилаються на навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів «Історична граматика української мови» Л. П. Павленко (Луцьк, Редакційно-видавничий відділ Волинського національного університету імені Лесі Українки, 2010), де на с. 116–117 написано:
Друга форма майбутнього часу складалася з допоміжного дієслова имати в теперішньому часі й інфінітива основного дієслова:
Однина
1 ос. иму писати
2 ос. имешь (-ши) писати
3 ос. иметь писати
Множина
1 ос. имемъ писати
2 ос. имете писати
3 ос. имуть писати
Двоїна
1 ос. имевѣ писати
2 ос. имета писати
3 ос. имета писати
Ця форма активно функціонувала в пам’ятках української мови різного часового діапазону, причому допоміжне дієслово имати могло вживатися і перед інфінітивом, і після нього, наприклад: иму писати — писати иму. Із часом відбувається злиття допоміжного дієслова в постпозиції з інфінітивом. Злиті (лексикалізовані) форми набувають значного поширення й стають одним зі специфічних для української мови засобів вираження майбутньої дії: писатииму → писати + иму → писатииму → писатиму. У процесі перетворення аналітичної форми майбутнього часу в синтетичну, тобто лексикалізації словосполучення, відбувається стягнення двох голосних звуків на межі слів в один. Залишки давньої аналітичної форми з допоміжним дієсловом имати трапляються в сучасних західноукраїнських говорах: меш ходити, ме ся вмивати.