Різниці між просити і прохати немає, окрім значення призначати ціну за що-небудь, де коректно вживати просити.
СУМ стверджує, що це слова-синоніми:
ПРОХАТИ, аю, аєш, недок., перех. і неперех. Те саме, що просити
1, 2, 4, 5.
Єдине значення, де немає відповідності - це призначати ціну за що-небудь:
3). неперех., розм. Призначати ціну за що-небудь. — Він просить по
тридцять карбованців за шкурку. Чи не взяти нам пару? (Зінаїда Тулуб,
В степу.., 1964, 459); — Завжди на ярмарку знайдеш двох дурнів: один
дорого просить, другий дешево дає (Михайло Стельмах, Гуси-лебеді..,
1964, 81).
Я також припустив, що прохати може бути щось середнім між просити і благати, проте Вікісловник не підтверджує цю гіпотезу:
Благати - наполегливо, невідступно, ласкаво просити. Сам і їсти їй
приносить, І просить, благає, Щоб на його подивилась, Щоб утерла
очі... Шевченко
Синоніми: заклинати, молити, волати, упрошувати
Ще один ресурс вказує, що просити і прохати є синонімами благати, а отже, теж ставить синомінімну відповідність цим словам.