Всюди знаходила одну і ту ж інформацію, що все-таки правильні обидва варіанти.
Наприклад, Офіційний сайт Української мови пише:
СПІВПРАЦЮВАТИ
Синоніми до слова СПІВПРАЦЮВАТИ : співробітничати; (з ворогом) коляборувати; п к ЮЮЧИЙ, що співпрацює, залучений до співпраці, співробітник, неґ. коляборант, о. у співпраці.
Щодо того, чи говорять "йду на працю", то так, Ви маєте рацію, не користуються таким терміном, але ж є подібний навіть у діалектах "йду до праці", що походить з польської мови "pracować" (Брала зі Словника польської мови).
В Українському тлумачному словнику подають, що:
співробітничати
-аю, -аєш, недок.
1) Займатися якоюсь діяльністю, працювати разом із ким-небудь.
2) Бути співробітником якої-небудь установи. || Брати участь як автор у роботі якогось друкованого органу.
Щодо сайту Online Corrector, то там написано, що лише "не рекомендується" і що можна замінити на "кращий варіант". Про заборону вживати там не йдеться.
З Вашого дозволу і свою думку висловлю. Абсолютно погоджуюсь з Online Corrector, бо, як на мене, добряче "ріже вухо" варіант "співробітничати". Якщо ж є можливість замінити його, то все ж краще дослухатися, "співпрацювати" звучить значно краще.