Загальна українська — І́горя
Нормативно: І́горя.
Про це кажуть зокрема:
Тобто зміст зацитованої статті загалом є правильним (незважаючи на дуже дивну мову, що використовується там — зокрема вжиток слова являтися у значенні «бути», більш притаманний російській мові, аніж українській). А щодо того, що хтось із мовознавців вважає, що «форма Ігоря не відповідає сучасній українській мові» і є «офіційно закріпленим русизмом» — так між мовознавцями завжди тривають суперечки з різних приводів. Але офіційна норма (а також переважна більшість мовознавців і всі академічні джерела) поки що за Ігоря.
Тому що в загальній українській Ігор відмінюється здебільшого як іменник м'якої групи:
відмінок однина множина
називний І́гор І́горі
родовий І́горя І́горів
давальний І́гореві, І́горю І́горям
знахідний І́горя І́горів
орудний І́горем І́горями
місцевий на/в І́гореві, І́горю¹, І́горі¹ на/в І́горях
кличний ???² І́горі
¹ — такі форми наводять «Словники України on-line» від УМІФ, але не § 103.2 «Правопису».
² — див. кінець відповіді.
Діалекти — І́гора
Але в деяких діалектах ім'я Ігор традиційно відмінюють як іменник твердої групи (аналогічно до Віктор, Єгор, Назар, Макар, Світозар):
відмінок однина множина
називний І́гор І́гори
родовий І́гора І́горів
давальний І́горові, І́гору І́горам
знахідний І́гора І́горів
орудний І́гором І́горами
місцевий на/в І́горові, І́горі на/в І́горах
кличний І́горе І́гори
Тобто закінчення -а в родовому/знахідному, закінчення -ом в орудному і чітке закінчення -е у кличному. Це не можна назвати «зовсім неправильним», це (за висловом Anatoli Zhylavy, коментар якого наштовхнув мене на цю частину відповіді) радше «правильне в межах діалекту». Або ще можна сприймати як локальний варіант імені, що відмінюється по-своєму. Однак цей варіант не вважається нормативним.
Про кличний відмінок
Джерела подають різну інформацію щодо закінчення кличного відмінку імені Ігор:
Якщо вважати Ігор іменником м'якої групи (а саме так він нормативно відмінюється у всіх інших відмінках), то згідно з § 53.2 «Правопису» 2015 він мав би мати закінчення -ю. Такої самої думки дотримуються «Словники України on-line» від УМІФ (див. посилання вище: подають саме І́горю), Олесандр Пономарів (у блозі: «кличний відмінок — Ігорю») і Олександр Авраменко (у відео: «у звертаннях використовуйте форму І́горю, саме вона відповідає нормам української мови: Сергі́ю, Андрі́ю, І́горю»).
Чинний «Правопис» від 2015 року в таблиці § 103.2 (див. посилання вище) конкретно для слова Ігор подає закінчення -е. Саме це закінчення переважає в корпусах: Grac (386 проти 331, причому останні впереміж із давальним відмінком), Grac v.3 (397 проти 377, причому останні впереміж із давальним відмінком), MOVA.info (115 проти 19), Google Книги. Цій формі надають перевагу і більшість респондентів опитування, проведеного Інною Бойко в межах її дисертації (с. 259, діаграма В.5, див. посилання нижче).
«Орфоепічний словник» Миколи Погрібного (Київ, «Радянська школа», 1983, 629 с.) на с. 247 подає обидва варіанти.
Я не можу зробити висновок щодо кличного відмінка. (1) Можливо, сприйняття Ігор як іменника не м'якої (а твердої чи мішаної) групи настільки поширилося, що вже впливає на форму кличного відмінка навіть у тих діалектах, де в інших відмінках все-таки вживаються закінчення м'якої групи. (2) Можливо, форма І́горе в «Правописі» — помилка; так стверджує зокрема Олександр Авраменко (у вищезгаданому відео); але ця «помилка» присутня в усіх версіях «Правопису» з 1993 по 2015 рік (окрім відхиленого проекту 1999 року) — невже таке можливо? (3) Можливо, праві й ті (незгодні із більшістю) мовознавці, що стверджують, що Ігор узагалі не мав би бути іменником м'якої групи, а віднесення його туди є наслідком росіянізації.
Тему кличного відмінка зокрема для імені Ігор докладно розглядяє Інна Бойко в її дисертації «Функціональна сфера апелятивності у сучасному українському розмовному дискурсі» (Київ, 2017, УДК 811.161.2'366.542-116.3(043.5)).
